El siguiente ejercicio fue traído a mi atención por Diego Ramos, un estudiante de mi curso de Combinatoria Algebraica que actualmente imparto en la Universidad Centroamericana José Simeón Cañas (UCA).
Problema. Calcule el valor de la sumatoria $latex \displaystyle \sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^n (i+j)-\sum_{i=0}^n \sum_{j=i+1}^n(i+j) &s=-2$.
Encontré dos soluciones que usan métodos generales para el cálculo de sumatorias. Antes de comenzar, conviene reordenar la expresión como sigue:
$latex \displaystyle \sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^n (i+j)-\sum_{i=0}^n \sum_{j=i+1}^n(i+j) = \sum_{i=0}^n \left( \sum_{j=0}^n (i+j) - \sum_{j=i+1}^n(i+j) \right) = \sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^i (i+j) &s=-1$
Solución 1. Manipulamos directamente la doble sumatoria.
$latex \displaystyle \sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^i (i+j) = \sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^i i +\sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^i j =\sum_{i=0}^n i(i+1) + \sum_{i=0}^n \frac{i(i+1)}{2} =\frac{3}{2} \sum_{i=0}^n i(i+1) $
Ahora calculamos la nueva sumatoria usando las fórmulas habituales de la suma de Gauss y suma de cuadrados:
$latex \displaystyle \sum_{i=0}^n i(i+1) =\sum_{i=0}^n i^2 + \sum_{i=0}^n i = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{n(n+1)}{2}= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n(n+1)(2n+4)}{6}=\frac{n(n+1)(n+2)}{3} $.
Por tanto la suma deseada vale $latex \displaystyle \frac{3}{2} \cdot \frac{n(n+1)(n+2)}{3} =\frac{n(n+1)(n+2)}{2}$. $latex \square$
Solución 2. Utilizamos un argumento de simetría: en lugar de trabajar con $latex \displaystyle \sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^i (i+j)$, consideramos la sumatoria modificada $latex \displaystyle T= \sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^n (i+j)$. Podemos descomponer a $latex T$ como sigue:
$latex \displaystyle T= \sum_{i=0}^n \sum_{j<i} (i+j)+ \sum_{j=i} (i+j) + \sum_{i=0}^n \sum_{j>i} (i+j)$.
Por simetría, las sumatorias correspondientes a $latex j<i$ y $latex j>i$ toman el mismo valor, digamos $latex S$. Por otro lado, denotando por $latex D$ la sumatoria correspondiente a $latex j=i$ obtenemos la relación algebraica $latex T=2S+D$.
Ahora procedemos a calcular los valores de $latex T$ y $latex D$:
$latex T=\displaystyle \sum_{i=0}^n \left( \sum_{j=0}^n i+ \sum_{i=0}^n j \right)= \sum_{i=0}^n \left( i(n+1)+ \frac{n(n+1)}{2} \right) =2(n+1)\cdot \frac{n(n+1)}{2} =n(n+1)^2$.
$latex \displaystyle D= \sum_{j=i} (i+j)= 2 \sum_{j=0}^n j=n(n+1)$.
Por último, observamos que la sumatoria buscada $latex \displaystyle \sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^i (i+j)$ corresponde justamente a $latex \displaystyle S+D=\frac{T+D}{2}$. Por tanto la respuesta al problema es
$latex \displaystyle \frac{1}{2} \left[ n(n+1)^2+n(n+1) \right] =\frac{n(n+1)(n+2)}{2}$.
N.B. El argumento de simetría se vuelve más intuitivo al visualizar las parejas de índices $latex (i,j)$ con $latex 0 \leq i,j \leq n$ en el siguiente arreglo geométrico. Sumando la totalidad de números escritos en la tabla obtendremos $latex T$; asimismo, la sumatoria del ejercicio corresponde a sumar los números en la mitad inferior del tablero (incluyendo la diagonal). $latex \square$
| (0,0) | (0,1) | ... | (0,n) |
| (1,0) | (1,1) | ... | (1,n) |
| ... | ... | ... | ... |
| (n,0) | (n,1) | ... | (n,n) |
Comentarios adicionales
Según mi estudiante, esta sumatoria proviene originalmente de un problema de programación [2]. Por otra parte, se trata de un problema común en matemáticas: tal y como se puede constatar en la OEIS (Online Encyclopedia of Integer Sequences) existen numerosas interpretaciones de esta sumatoria; cf. [1].
De paso, quisiera proponer a mis nuevos lectores una bonita propiedad tomada de la OEIS.
Problema. Para $latex \displaystyle n\geq 1$ sea $latex \displaystyle a_n=\frac{n(n+1)(n+2)}{2}$. Calcule el valor de la serie $latex \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{a_n}$.
Referencias
[1] OEIS A027480, https://oeis.org/A027480, consultado 02/08/24.
[2] Timus Online Judge, Problema 1502, "Domino Dots", https://acm.timus.ru/problem.aspx?space=1&num=1502, consultado 02/08/24.